Bài viết này sẽ đi sâu vào phương trình Dirac, một cột mốc quan trọng trong sự phát triển của vật lý lượng tử. Chúng ta sẽ khám phá tính hiệp biến Lorentz của nó, lý do tại sao nó được coi là "đúng" và "đẹp", đồng thời làm sáng tỏ những khía cạnh thường gây nhầm lẫn. Bạn sẽ hiểu rõ hơn về vai trò của phương trình này trong việc mô tả các hạt có spin 1/2 như electron và quark.
Nhiều người thường nghe nói rằng phương trình Dirac là hiệp biến Lorentz, một thuộc tính quan trọng làm cho nó trở thành nền tảng của vật lý hiện đại. Tuy nhiên, sự hiệp biến này không hiển nhiên. Thực tế, phương trình Dirac chỉ hiệp biến Lorentz khi chúng ta giả định rằng spinor biến đổi theo một cách đặc biệt, không hề rõ ràng dưới phép biến đổi Lorentz.
Cụ thể, nếu ψ(x) là nghiệm của phương trình Dirac trong một hệ quy chiếu, thì ψ'(x') (trong đó x' là tọa độ sau phép biến đổi Lorentz) không đơn giản chỉ là ψ(x). Thay vào đó, nó được biến đổi theo công thức: ψ'(x') = S(Λ)ψ(x), trong đó S(Λ) là một toán tử tuyến tính phụ thuộc vào phép biến đổi Lorentz Λ.
Vấn đề là, nhiều tài liệu sử dụng chính tính hiệp biến Lorentz của phương trình Dirac để suy ra dạng của phép biến đổi spinor S(Λ). Điều này dẫn đến một vòng luẩn quẩn. Vậy, có cách nào để chứng minh tính hiệp biến Lorentz của phương trình Dirac mà không dựa vào chính nó không?
Để hiểu rõ hơn, hãy tạm quên các phép biến đổi Lorentz và suy nghĩ một cách tổng quát hơn. Nếu một phép biến đổi T giữ bất kỳ đối tượng Ω nào đó bất biến, thì ta gọi T là một phép đối xứng của Ω. Ω có thể là một hình dạng vật lý, hoặc một khái niệm trừu tượng hơn.
Trong vật lý, hãy xét một lý thuyết được điều khiển bởi một tập hợp các phương trình chuyển động. Ví dụ, phương trình Maxwell mô tả sự tiến triển của trường điện từ. Các phương trình chuyển động cho chúng ta biết những hành vi nào được phép về mặt vật lý. Trong ngữ cảnh này, ta có thể coi Ω là tập hợp tất cả các hành vi được phép, và bất kỳ phép biến đổi T nào giữ Ω bất biến đều có thể được gọi là một phép đối xứng của lý thuyết.
Bây giờ, hãy áp dụng điều này vào phương trình Dirac: (iγμ∂μ − m)ψ(x) = 0. Giống như ví dụ trước, phương trình này cho chúng ta biết những hàm bốn thành phần ψ(x) nào được phép về mặt vật lý. Ta có thể coi Ω là tập hợp tất cả các hàm được phép (tức là nghiệm của phương trình Dirac), và bất kỳ phép biến đổi T nào giữ Ω bất biến đều là một đối xứng của "lý thuyết đồ chơi" này.
Việc tìm kiếm tất cả các phép đối xứng của phương trình Dirac có thể là một nhiệm vụ khó khăn. Để đơn giản hóa, chúng ta chỉ xét các phép đối xứng có dạng toán học đơn giản, cụ thể là các phép biến đổi tuyến tính: ψ(x) → Sψ(Λx), trong đó S là một ma trận và Λ là một phép biến đổi tuyến tính của tọa độ. Chúng ta không cần giả định rằng Λ là một phép biến đổi Lorentz.
Mục tiêu là tìm các cặp (S, Λ) sao cho phép biến đổi T được định nghĩa bởi ψ(x) → Sψ(Λx) biến các nghiệm của phương trình Dirac thành các nghiệm khác. Nói cách khác, chúng ta muốn (iγμ∂μ − m)ψ'(x) = 0, với ψ'(x) := Sψ(Λx), nếu ψ(x) thỏa mãn (iγμ∂μ − m)ψ(x) = 0. Nếu chúng ta có thể tìm bất kỳ cặp (S, Λ) nào như vậy, thì chúng ta đã tìm thấy một phép đối xứng.
Điều quan trọng là chúng ta không thay đổi toán tử vi phân (iγμ∂μ − m). Chúng ta chỉ thay đổi hàm từ ψ(x) thành ψ'(x) và kiểm tra xem hàm mới có thỏa mãn cùng một phương trình hay không.
Giả sử chúng ta tìm được một phép đối xứng (S, Λ) mà trong đó Λ tình cờ là một phép biến đổi Lorentz. Điều này có nghĩa là phép biến đổi x → Λx giữ bất biến đại lượng −x02 + x12 + x22 + x32. Các phép đối xứng như vậy của phương trình Dirac tồn tại: với mỗi phép biến đổi Lorentz Λ, có ít nhất một ma trận S sao cho (S, Λ) là một phép đối xứng.
Một cách tổng quát hơn, giả sử tập hợp các hành vi được phép trong một lý thuyết trường bao gồm một phép đối xứng (A, B, C, ..., Λ) cho mỗi phép biến đổi Lorentz Λ, trong đó các ma trận A, B, C, ... tác động lên các thành phần của các trường khác nhau. Chúng ta có thể gọi thuộc tính này là hiệp biến Lorentz.
Với định nghĩa này, các phương trình Maxwell trong không gian tự do là hiệp biến Lorentz, và phương trình Dirac cũng vậy. Điều này không phải là một lập luận vòng tròn, vì chúng ta đang áp dụng một định nghĩa tổng quát về hiệp biến Lorentz và chứng minh rằng phương trình Dirac thỏa mãn định nghĩa đó.
Phương trình Dirac thực sự là hiệp biến Lorentz. Việc chứng minh điều này đòi hỏi một định nghĩa chính xác về hiệp biến Lorentz và hiểu rằng tính đối xứng không chỉ áp dụng cho các phép biến đổi tọa độ riêng lẻ. Bằng cách xem xét các phép biến đổi đồng thời của tọa độ và trường spinor, chúng ta có thể chứng minh tính hiệp biến Lorentz của phương trình Dirac một cách chặt chẽ, khẳng định vai trò trung tâm của nó trong vật lý hiện đại.
Bài viết liên quan