Bài viết này khám phá sự khác biệt thú vị trong phân bố của tọa độ góc (θ) khi chúng ta tạo ra các điểm ngẫu nhiên trong không gian hai chiều (2D) bằng hai phương pháp khác nhau: sử dụng phân bố đều và sử dụng phân bố chuẩn (Gaussian). Chúng ta sẽ đi sâu vào lý do tại sao θ lại có sự phân bố khác nhau trong từng trường hợp và thảo luận về ý nghĩa của nó trong các ứng dụng thực tế.
Trước khi đi vào chi tiết, hãy cùng ôn lại khái niệm tọa độ cực. Trong hệ tọa độ cực, một điểm trong mặt phẳng được xác định bởi khoảng cách từ gốc tọa độ (r) và góc (θ) tạo bởi tia nối điểm đó với trục hoành. Góc θ thường được đo bằng radian.
Giả sử chúng ta tạo ra các điểm ngẫu nhiên trong một hình vuông, ví dụ, với các cạnh nằm trong khoảng từ -1 đến 1 trên cả trục x và trục y. Mỗi điểm (x, y) được chọn một cách độc lập từ một phân bố đều. Khi đó, trực giác mách bảo rằng góc θ sẽ cũng được phân bố đều trong khoảng từ 0 đến 2π. Tuy nhiên, điều này không hoàn toàn đúng.
Tại sao θ không phân bố đều khi (x, y) tuân theo phân bố đều?
Khi (x, y) được lấy từ phân bố đều, xác suất để một điểm rơi vào một vùng cụ thể tỉ lệ thuận với diện tích của vùng đó. Xét một góc nhỏ dθ. Diện tích mà góc này quét được sẽ lớn hơn ở các góc 45 độ (nằm trên đường chéo) so với gần trục x hoặc y. Điều này dẫn đến việc θ có xu hướng tập trung nhiều hơn ở các góc 45 độ, làm cho phân bố của nó không đồng đều.
Bây giờ, hãy xét trường hợp khi x và y được chọn một cách độc lập từ một phân bố chuẩn (Gaussian) với trung bình bằng 0 và độ lệch chuẩn bằng nhau. Điều đáng ngạc nhiên là, trong trường hợp này, góc θ lại được phân bố đều trong khoảng từ 0 đến 2π.
Lý do θ phân bố đều khi (x, y) tuân theo phân bố chuẩn:
Phân bố chuẩn hai chiều độc lập có tính đối xứng tâm. Điều này có nghĩa là mật độ xác suất tại một điểm chỉ phụ thuộc vào khoảng cách của điểm đó đến gốc tọa độ, chứ không phụ thuộc vào góc. Nói cách khác, các đường đồng mức (contour) của mật độ xác suất là các đường tròn đồng tâm. Do đó, xác suất để một điểm rơi vào một góc dθ bất kỳ là như nhau, dẫn đến phân bố đều cho θ.
Sự khác biệt trong phân bố của θ giữa phân bố đều và phân bố chuẩn có ý nghĩa quan trọng trong nhiều lĩnh vực, bao gồm:
Mặc dù có vẻ trái trực giác, sự phân bố của tọa độ góc (θ) trong không gian 2D phụ thuộc mạnh mẽ vào phân bố của các tọa độ Descartes (x, y). Trong khi phân bố đều cho (x, y) dẫn đến phân bố góc không đều, phân bố chuẩn lại tạo ra phân bố góc đều. Hiểu được sự khác biệt này là rất quan trọng để áp dụng các phương pháp thống kê và mô phỏng một cách chính xác trong nhiều lĩnh vực khác nhau.
Tóm lại: Việc lựa chọn phân bố phù hợp cho các biến ngẫu nhiên có thể ảnh hưởng đáng kể đến kết quả phân tích.Bài viết liên quan