Bài viết này đi sâu vào **Lagrangian** trong bối cảnh cơ học tương đối tính, đặc biệt tập trung vào hạt điểm có khối lượng. Chúng ta sẽ khám phá công thức Lagrangian tiêu chuẩn, những hệ quả của việc sử dụng thời gian riêng, và cách tránh những sai lầm phổ biến khi làm việc với phương trình Euler-Lagrange. Mục tiêu là cung cấp một cái nhìn rõ ràng, chi tiết và dễ tiếp cận về chủ đề này cho cả sinh viên và các nhà nghiên cứu.
Đối với một hạt điểm tương đối tính có khối lượng *m*, đường thế giới được tham số hóa bởi *x(λ)*, Lagrangian tiêu chuẩn được biểu diễn như sau:
L(ẋ) = -mc√(gₐₓb ẋᵃ ẋᵇ)
Trong đó *g* là metric Lorentzian với signature (+, -, -, -), và "̇" = d/dλ.
Điều quan trọng cần lưu ý là *gₐₓb* biểu diễn tenxơ metric, và *ẋᵃ* là đạo hàm của tọa độ theo tham số *λ*. Biểu thức dưới căn bậc hai đại diện cho độ lớn của 4-vận tốc, và *mc* là một hằng số nhân tỷ lệ.
Nếu λ = τ = thời gian riêng, thì √(gₐₓb ẋᵃ ẋᵇ) = c, suy ra L(ẋ) = -mc² = hằng số.
Điều này có vẻ ngụ ý rằng ∂L/∂ẋᵃ = ∂mc²/∂ẋᵃ = 0, và do đó mỗi số hạng trong phương trình Euler-Lagrange phải bằng 0, dẫn đến phương trình "0 = 0". Tuy nhiên, đây là một suy luận sai lầm. Lagrangian thực tế dẫn đến phương trình geodesic nổi tiếng. Vậy, sai lầm nằm ở đâu?
Sai lầm chủ yếu đến từ việc **lạm dụng ký hiệu và lẫn lộn giữa đường cong trong không-thời gian và tọa độ trên không-thời gian**. Để làm rõ, ta cần phân biệt rõ ràng giữa hàm Lagrangian *L* và hàm *ℓ*, được định nghĩa bằng cách thay đường cong vào *L*.
Sử dụng ký hiệu *vᵃ* cho thành phần vận tốc giúp phân biệt rõ ràng *xᵃ* và *vᵃ* là độc lập. Khi đó, Lagrangian trở thành một hàm trên bó tiếp tuyến của một manifold:
L(x, v) = -mc√(gₐₓb(x) vᵃ vᵇ)
Do đó, đạo hàm riêng được tính như sau:
∂L/∂vᵃ(x, v) = mc gₐₓb(x) vᵇ / √(gₖₓl(x) vᵏ vˡ)
Điểm mấu chốt là, **phải thực hiện đạo hàm riêng trước, sau đó mới thay đường cong vào**. Việc thay đường cong vào trước rồi mới tính đạo hàm là một sai lầm lớn.
Một cách tiếp cận khác để hiểu vấn đề này là thông qua action. Action *S* cho một hạt điểm tương đối tính có khối lượng là:
S[x] = ∫λᵢλf dλ L = -E₀Δτ
Trong đó *E₀ = mc²* là năng lượng nghỉ và *Δτ = τf - τᵢ* là sự thay đổi trong thời gian riêng. Nguyên lý action dừng (stationary action principle) giữ cho các điểm cuối *λᵢ* và *λf* cố định trong quá trình biến phân.
Vấn đề nảy sinh khi cố gắng cố định tham số đường thế giới *λ* là thời gian riêng *τ* trước khi thực hiện biến phân. Điều này khiến cho tất cả các đường đi (ảo hay không) đều có cùng giá trị action, làm cho nguyên lý action trở nên vô dụng trong việc xác định geodesic thực tế.
Hiểu rõ công thức Lagrangian và cách áp dụng nó trong cơ học tương đối tính đòi hỏi sự cẩn trọng trong ký hiệu và thứ tự thực hiện các phép toán. Việc phân biệt rõ ràng giữa hàm Lagrangian và giá trị của nó trên một đường cong cụ thể, cũng như việc tuân thủ đúng trình tự đạo hàm, là rất quan trọng để tránh những sai lầm phổ biến và thu được kết quả chính xác. Hy vọng bài viết này đã cung cấp một cái nhìn sâu sắc và hữu ích về chủ đề này.
Bài viết liên quan