Không Gian Ma Trận: Metric và Ứng Dụng trong Phân Tích Thống Kê

Bài viết này khám phá sâu về một vấn đề phức tạp trong không gian ma trận, liên quan đến việc xác định một metric mà theo đó một tự ánh xạ (self-map) ma trận trở nên không giãn. Chúng ta sẽ đi sâu vào các khái niệm như ma trận bán xác định dương (PSD), tích Hadamard, và phép chiếu metric, đồng thời xem xét các ứng dụng thống kê tiềm năng của các kết quả này. Nếu bạn quan tâm đến đại số tuyến tính, phân tích ma trận, hoặc thống kê toán học, bài viết này sẽ cung cấp những hiểu biết sâu sắc và hữu ích.

Bài Toán Về Tính Không Giãn của Ánh Xạ Ma Trận

Cho một ma trận đối xứng, bán xác định dương P với các phần tử trên đường chéo chính bằng 1 (tức là I ∘ P = I, với ∘ là tích Hadamard). Xét tự ánh xạ sau trên không gian các ma trận xác định dương đường chéo:

f_P(X) = I ∘ Π_≤I(X^1/2PX^1/2)

Trong đó Π_≤I là phép chiếu metric lên các ma trận PSD bị chặn trên bởi I. Phép chiếu này có thể được định nghĩa trên các ma trận đối xứng PSD X = UΛU' như sau:

Π_≤I(UΛU') = U min(Λ, I) U'

Câu hỏi đặt ra là: Liệu có tồn tại một metric d_P(⋅, ⋅) mà theo đó f_P là không giãn, tức là thỏa mãn:

d_P(f_P(X), f_P(Y)) ≤ d_P(X, Y)

Liên Hệ Thống Kê và Ước Lượng Metric

Cần lưu ý rằng P về cơ bản là một ma trận tương quan, và X^1/2PX^1/2 tương tự như một ma trận hiệp phương sai với các phương sai X. Từ cách diễn giải thống kê này, có thể phỏng đoán một metric phù hợp như sau:

d_P(X, Y) = d_BW(X^1/2PX^1/2, Y^1/2PY^1/2)

Trong đó d_BW(⋅, ⋅) là metric Bures-Wasserstein, thường được sử dụng để đo khoảng cách giữa các phân phối chuẩn với các ma trận hiệp phương sai khác nhau. Một lựa chọn khác, độc lập với P, có thể là:

d_P(X, Y) = d_BW(X, Y) = ||X^1/2 - Y^1/2||_F

Trong đó ||⋅||_F là chuẩn Frobenius.

Phản Ví Dụ và Kết Quả Tổng Quát

Bằng phản ví dụ, người ta chứng minh rằng f_P không phải là không giãn đối với bất kỳ metric ℓ_p nào:

d_p(X, Y) := ||X - Y||_p

trong đó các ma trận đường chéo được coi như các vectơ. Điều này cho thấy sự phức tạp trong việc tìm kiếm một metric phù hợp cho bài toán này.

Kết Quả Tổng Quát (Tính Âm)

Nếu không bảo toàn cấu trúc tương quan, ta định nghĩa trên các ma trận đối xứng PSD:

f(X) = Π_≤I(X)

Khi n > 1, không tồn tại d(⋅, ⋅) sao cho:

d(I ∘ f(X), I ∘ f(Y)) ≤ d(I ∘ X, I ∘ Y)

Lý do là vì ta có thể tìm được X ≠ Y, X ≤ I, và Y ≰ I sao cho I ∘ X = I ∘ Y nhưng f(X) = X và do đó I ∘ f(X) = I ∘ X trong khi I ∘ f(Y) ≠ I ∘ Y = I ∘ X. Điều này chỉ ra một giới hạn cơ bản trong việc xây dựng các metric thỏa mãn tính không giãn trong các trường hợp tổng quát.

Phân Tích Chi Tiết và Chứng Minh Tính Không Giãn (Non-expansive)

Xét tập hợp D₊₊ = {diag(x₁, …, x_n) | x_i > 0}, tập hợp các ma trận đường chéo với các phần tử dương trên đường chéo. Ta xét ánh xạ f_P(X) = I ∘ Π_≤I(X^1/2PX^1/2), trong đó P ⪰ 0 là một ma trận tương quan cố định, Π_≤I là phép chiếu metric lên tập hợp {Z ⪰ 0 : Z ⪯ I}, và I ∘ A ký hiệu ma trận đường chéo được tạo thành từ đường chéo của A.

Sử Dụng Chuẩn Frobenius và Tính Chất Của Phép Chiếu

Phép chiếu metric Π_≤I lên tập lồi đóng {Z ⪰ 0 : Z ⪯ I} là firmly non-expansive, và do đó non-expansive, trong chuẩn Frobenius:

||Π_≤I(A) - Π_≤I(B)||_F ≤ ||A - B||_F

Thao tác "diagonal pinching" P(A) = I ∘ A là một phép chiếu trực giao, do đó nó cũng non-expansive:

||P(A) - P(B)||_F ≤ ||A - B||_F

Kết hợp các tính chất này, ta thấy rằng ánh xạ f_P thỏa mãn:

||f_P(X) - f_P(Y)||_F ≤ ||Π_≤I(X^1/2PX^1/2) - Π_≤I(Y^1/2PY^1/2)||_F ≤ ||X^1/2PX^1/2 - Y^1/2PY^1/2||_F

Sử Dụng Ánh Xạ Tuyến Tính Φ(X)

Giới thiệu ánh xạ tuyến tính Φ(X) = X^1/2P^1/2. Khi đó, X^1/2PX^1/2 = Φ(X)Φ(X)^⊤. Thay thế vào bất đẳng thức trên, ta được:

||f_P(X) - f_P(Y)||_F ≤ ||Φ(X)Φ(X)^⊤ - Φ(Y)Φ(Y)^⊤||_F

Vì Φ(X) = X^1/2P^1/2, ánh xạ Φ tuyến tính theo X^1/2, nên:

Φ(X) - Φ(Y) = (X^1/2 - Y^1/2)P^1/2 = diag(x^-√ - y√)P^1/2

Bounding Khoảng Cách Sử Dụng Norm

Đặt M_P = ||P^1/2||₂ = √λ_max(P). Sử dụng tính chất sub-multiplicativity của chuẩn Frobenius ||AB||_F ≤ ||A||_F||B||₂, ta có:

||Φ(X) - Φ(Y)||_F ≤ ||diag(x^-√ - y√)||_F ||P^1/2||₂ = ||x^-√ - y√||₂ M_P

Để chặn trên hiệu của các ma trận Gram, ta sử dụng đẳng thức:

AA^⊤ - BB^⊤ = (A - B)A^⊤ + B(A - B)^⊤

và bất đẳng thức tam giác:

||Φ(X)Φ(X)^⊤ - Φ(Y)Φ(Y)^⊤||_F ≤ ||(Φ(X) - Φ(Y))Φ(X)^⊤||_F + ||Φ(Y)(Φ(X) - Φ(Y))^⊤||_F

Sử dụng ||MN||_F ≤ ||M||_F||N||₂ và ||MN||_F ≤ ||M||₂||N||_F, ta được:

||Φ(X)Φ(X)^⊤ - Φ(Y)Φ(Y)^⊤||_F ≤ (||Φ(X)||₂ + ||Φ(Y)||₂) ||Φ(X) - Φ(Y)||_F

Đánh Giá và Thu Hẹp Phạm Vi

Thay thế chặn trên cho ||Φ(X) - Φ(Y)||_F, ta có:

||Φ(X)Φ(X)^⊤ - Φ(Y)Φ(Y)^⊤||_F ≤ (||Φ(X)||₂ + ||Φ(Y)||₂) M_P ||x^-√ - y√||₂

Điều này có thể được chặn trên thêm bằng cách sử dụng max:

||Φ(X)Φ(X)^⊤ - Φ(Y)Φ(Y)^⊤||_F ≤ 2 M_P max{||Φ(X)||₂, ||Φ(Y)||₂} ||x^-√ - y√||₂

Các lần lặp của f_P nằm trong tập hợp D⁽¹⁾₊₊ = {diag(x) | 0 < x_i ≤ 1}, giả sử chúng vẫn dương nghiêm ngặt. Bên trong tập hợp này, với bất kỳ Z ∈ D⁽¹⁾₊₊, ta có ||Φ(Z)||₂ = ||Z^1/2P^1/2||₂ ≤ ||Z^1/2||₂ ||P^1/2||₂. Vì Z^1/2 = diag(√z_i) với 0 < z_i ≤ 1, ||Z^1/2||₂ = max_i √z_i ≤ 1. Do đó, ||Φ(Z)||₂ ≤ M_P.

Giả sử X, Y là các lần lặp như vậy (hoặc thuộc một tập hợp mà ràng buộc này đúng), ta có:

||Φ(X)Φ(X)^⊤ - Φ(Y)Φ(Y)^⊤||_F ≤ 2 M_P (M_P + M_P) ||x^-√ - y√||₂ = 2 M²_P ||x^-√ - y√||₂

Kết Luận và Liên Hệ với Khoảng Cách Bures-Wasserstein

Kết hợp điều này với bất đẳng thức trước đó cho ||f_P(X) - f_P(Y)||_F, ta thu được:

||f_P(X) - f_P(Y)||_F ≤ 2 M²_P ||x^-√ - y√||₂

Nếu ta định nghĩa bình phương khoảng cách Bures-Wasserstein giữa các ma trận đường chéo này là Δ_P(X, Y) = ||X^-√ - Y√||²_F = ||x^-√ - y√||²₂, thì bất đẳng thức có thể được viết là:

Δ_P(f_P(X), f_P(Y)) ≤ 2 √n M²_P Δ_P(X, Y)^1/2

Bất đẳng thức này cho thấy rằng ánh xạ f_P co lại khoảng cách Bures bình phương theo một cách dưới tuyến tính liên quan đến căn bậc hai. Nó không trực tiếp ngụ ý tính không giãn tuyến tính Δ_P(f_P(X), f_P(Y)) ≤ Δ_P(X, Y) hoặc tính không giãn trong chính khoảng cách Bures, √Δ_P(f_P(X), f_P(Y)) ≤ √Δ_P(X, Y). Tuy nhiên, mối quan hệ này ngụ ý sự co lại trong khoảng cách Bures cục bộ, trên các tập hợp nơi các mục nhập đường chéo có một giới hạn dưới dương chung, làm cho ánh xạ t ↦ √t Lipschitz.