Bài viết này đi sâu vào thế giới phức tạp của các phạm trù n, khám phá mối liên hệ giữa chúng với logic nội tại, lý thuyết kiểu và các khái niệm toán học khác. Chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu cách các cấu trúc bậc cao này cho phép chúng ta suy nghĩ về các tính chất của các đối tượng toán học mà không cần "rời khỏi thế giới" của chúng. Nếu bạn quan tâm đến việc hiểu sâu hơn về nền tảng của toán học hiện đại và các ứng dụng tiềm năng của nó, thì đây là bài viết dành cho bạn.
Trong toán học, chúng ta thường muốn nói về các tính chất của một đối tượng mà không cần phải tham chiếu đến một "thế giới bên ngoài". Ví dụ, chúng ta muốn nói về các tính chất của một không gian tô pô mà không cần phải tham chiếu đến các tập hợp điểm riêng lẻ. Đây là ý tưởng cơ bản của việc **nội tại hóa**. Bài viết này tập trung vào cách chúng ta có thể nội tại hóa các khái niệm phạm trù (category theory) bằng cách sử dụng logic nội tại.
Một cách để làm điều này là sử dụng một hàm quên (forgetful functor) `U: H -> S`, nơi `H` là phạm trù chúng ta quan tâm và `S` là một phạm trù "đơn giản" hơn, chẳng hạn như tập hợp (Sets) hoặc ∞-nhóm (∞Gpd). Chúng ta muốn khôi phục `S` từ dữ liệu trong `H`. Một cách để làm điều này là giả định rằng `U` có một ánh xạ phụ (adjoint) hoặc phản xạ (coreflective) đầy đủ và trung thực.
**Logic nội tại** cung cấp một cách để nói về các đối tượng như thể chúng là các tập hợp hoặc không gian với các "phần tử". Nó cung cấp một cách để "biên dịch" ngôn ngữ này thành các câu lệnh về `H` trong ngôn ngữ phạm trù thông thường. Ví dụ, khẳng định "cho bất kỳ x ∈ A và y ∈ B, tồn tại một (x, y) ∈ A × B duy nhất sao cho..." được biên dịch thành định nghĩa thông thường của một tích Descartes.
Trong logic nội tại của `H`, các đối tượng của `H` hoạt động như các tập hợp (nếu `H` là một 1-topos) hoặc ∞-nhóm (nếu `H` là một (∞,1)-topos). Logic nội tại của một 1-topos đôi khi được gọi là ngôn ngữ Mitchell-Benabou, trong khi logic nội tại của một (∞,1)-topos được gọi là lý thuyết kiểu đồng luân (homotopy type theory).
Làm thế nào để chúng ta mô tả một phạm trù con phản xạ hoặc đối xứng bên trong? Cách tiếp cận rõ ràng là chỉ cần nói những gì nó có nghĩa là thuộc về phạm trù con, cộng với một thao tác trên các kiểu đóng vai trò là bộ phản xạ/đối xứng, cùng với một đơn vị/đối đơn vị thỏa mãn một thuộc tính phổ quát phù hợp. Ví dụ, trong trường hợp phản xạ, điều này có nghĩa là chúng ta có những thứ như sau:
Tuy nhiên, giả sử rằng lý thuyết kiểu của chúng ta có các kiểu phụ thuộc, một thao tác trên các kiểu được chỉ định trong logic nội tại theo cách này thực sự cho chúng ta nhiều hơn là chỉ một thao tác trên các đối tượng của `H`. Điều này là do bất kỳ thao tác nào chúng ta có trong lý thuyết kiểu đều có thể được áp dụng tự động trong bất kỳ ngữ cảnh nào. Do đó, không chỉ chúng ta có thể nói rằng đối với mọi kiểu `A`, chúng ta có một kiểu `♯A`, chúng ta cũng có thể nói rằng đối với bất kỳ kiểu phụ thuộc nào `x: A |- P(x) : Type`, chúng ta có một kiểu phụ thuộc khác `x: A |- ♯P(x) : Type`.
Mọi phạm trù con phản xạ (tuân theo các điều kiện định lý hàm phụ nhất định) tạo ra một hệ thống phân tích (E, M), trong đó E là lớp các ánh xạ được đảo ngược bởi bộ phản xạ ♯, và phạm trù con phản xạ được xác định với M/1. Các hệ thống phân tích phát sinh từ các phạm trù con phản xạ theo cách này chính xác là những hệ thống mà E thỏa mãn hai trong ba (trong trường hợp đó, tất nhiên, phạm trù con phản xạ là bản địa hóa tại E); chúng được gọi là hệ thống phân tích phản xạ.
Các đối tượng đồng nhất (codiscrete objects) thừa nhận một tiên đề hóa rất hay và tiện lợi trong logic nội tại. Thật không may, các đối tượng rời rạc (discrete objects) không thừa nhận một mô tả gần như vậy, bởi vì logic nội tại không cho phép chúng ta đối ngẫu hóa các phạm trù lát cắt thành đồng lát cắt khi chúng ta muốn đối ngẫu hóa tính phản xạ thành tính đồng nhất. Không có cách tổng quát nào để xây dựng một **phạm trù con đồng nhất**.
Tuy nhiên, nếu chúng ta có các đối tượng đồng nhất, thì chúng sẽ cung cấp cho chúng ta một giải pháp để đối phó với các đối tượng rời rạc! Cụ thể, chúng ta đã có phạm trù `S` nằm bên trong `H` như các đối tượng đồng nhất, với hàm tử `U: H -> S` được biểu diễn bởi bộ phản xạ ♯. Do đó, chúng ta có thể nói "trong `S`" "về `H`" và vẫn ở bên trong `H`, nếu chúng ta thực hiện tất cả các cuộc nói chuyện của chúng ta bên trong các đối tượng đồng nhất.
Bài viết này chỉ là một cái nhìn thoáng qua về thế giới phong phú và phức tạp của các phạm trù n và logic nội tại. Hy vọng rằng, nó đã mang lại cho bạn một sự đánh giá cao hơn về sức mạnh và vẻ đẹp của các cấu trúc toán học này, và khuyến khích bạn khám phá chúng sâu hơn. Bằng cách hiểu rõ hơn về logic nội tại của các phạm trù n, chúng ta có thể hiểu rõ hơn về nền tảng của toán học và các ứng dụng tiềm năng của nó.
Bài viết liên quan