Giai Thừa Hex: Tìm Kiếm Những Con Số Tự Nhiên Ẩn Mình Sau Hệ Thập Lục Phân

Bạn đã bao giờ tự hỏi liệu có một con số tự nhiên nào đó, lớn hơn 16, mà khi tính giai thừa và biểu diễn nó trong hệ thập lục phân (hexadecimal), kết quả lại chỉ bao gồm các chữ số thập phân quen thuộc từ 0 đến 9? Bài viết này sẽ cùng bạn khám phá câu hỏi thú vị này, đi sâu vào **số học**, **toán học giải trí** và **khai triển thập phân** để tìm kiếm câu trả lời.

Bài Toán Thú Vị Về Giai Thừa Và Hệ Thập Lục Phân

Bài toán đặt ra là: cho một số tự nhiên 'n', tính giai thừa của 'n' (n!) và biểu diễn kết quả dưới dạng số thập lục phân. Liệu có tồn tại số tự nhiên 'n' nào lớn hơn 16 sao cho biểu diễn thập lục phân của n! chỉ chứa các chữ số từ 0 đến 9?

Một đoạn code Python đơn giản đã được sử dụng để kiểm tra vấn đề này:

  
  def v(n: int) -> bool:
      return hex(math.factorial(n))[2:].is_decimal()

  for i in range(10 ** 4):
      if v(i):
          print(i)
  
  

Kết quả cho thấy các số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 9, 11, 15, 16 thỏa mãn điều kiện. Vậy, liệu có số nào lớn hơn 16 mà chúng ta đã bỏ sót?

Tiếp Cận Bài Toán Bằng Logic Xác Suất

Một cách tiếp cận thú vị là sử dụng lập luận xác suất. Số n! có xấp xỉ n * log₁₆(n/e) chữ số hex. Nếu n > 16, thì n/e ~ 44. Giả sử các chữ số hex là ngẫu nhiên, thì xác suất để tất cả các chữ số là thập phân là (5/8)ⁿ. Tổng của (5/8)ⁿ từ n = 44 đến vô cùng là rất nhỏ (khoảng 4.9 x 10^-10). Điều này cho thấy việc tìm thấy một số n > 44 mà giai thừa hex của nó chỉ chứa các chữ số thập phân là rất khó xảy ra.

Điều này không chứng minh rằng không có số nào thỏa mãn, nhưng nó cho thấy rằng việc tìm kiếm bằng brute-force (duyệt toàn bộ) có thể không hiệu quả sau một ngưỡng nhất định.

Hướng Tiếp Cận Bằng Quy Nạp

Một hướng đi khác là sử dụng phương pháp quy nạp. Cố gắng chứng minh rằng bất kỳ số thập lục phân nào chứa chữ cái (A-F) sẽ vẫn chứa chữ cái khi nhân với bất kỳ số nào lớn hơn 16. Nếu điều này là đúng, nó sẽ đơn giản hóa rất nhiều việc tìm kiếm những số đó. Tuy nhiên, cần phải xem xét kỹ lưỡng tính đúng đắn của giả thuyết này.

Những Câu Hỏi Mở Và Hướng Nghiên Cứu Tiếp Theo

Bài toán này vẫn còn bỏ ngỏ nhiều câu hỏi thú vị:

• Có tồn tại số tự nhiên n > 16 nào mà n! biểu diễn ở hệ thập lục phân chỉ chứa các chữ số thập phân không? Nếu có, giá trị của chúng là gì?
• Nếu không tồn tại, tại sao lại như vậy? Có thể chứng minh điều này bằng lý thuyết số không?
• Có heuristics (phương pháp kinh nghiệm) nào hiệu quả hơn cho bài toán này không?

Bài viết này đã trình bày một bài toán thú vị kết hợp giữa giai thừa và hệ thập lục phân. Mặc dù chưa có câu trả lời cuối cùng, nhưng các phương pháp tiếp cận khác nhau đã được đề xuất, mở ra những hướng nghiên cứu tiềm năng trong lĩnh vực **toán học giải trí** và **lý thuyết số**.