Bạn đã bao giờ tự hỏi làm thế nào chúng ta có thể mô hình hóa các hàm một cách linh hoạt, hoặc dự đoán giá trị của một hàm tại các điểm chưa biết? Gaussian Process (GP) là một công cụ mạnh mẽ trong học máy cho phép chúng ta làm điều đó. Bài viết này sẽ cung cấp một cái nhìn tổng quan về GP, tập trung vào một trong những đặc tính quan trọng nhất của nó: tính độc lập của các gia số. Chúng ta sẽ khám phá lý do tại sao đặc tính này lại quan trọng và cách nó được chứng minh.
Một Gaussian Process là một tập hợp các biến ngẫu nhiên, sao cho bất kỳ tập hợp hữu hạn nào trong số đó đều có phân phối Gaussian đa biến. Nói một cách đơn giản, nó là một phân phối trên các hàm. Thay vì chỉ định giá trị cho một biến đơn lẻ, GP chỉ định một phân phối xác suất cho toàn bộ hàm.
Một Gaussian Process được xác định hoàn toàn bởi hai hàm: hàm trung bình (mean function) và hàm covariance (covariance function). Hàm trung bình chỉ định giá trị trung bình của hàm tại mỗi điểm, trong khi hàm covariance chỉ định mức độ liên quan giữa các giá trị của hàm tại các điểm khác nhau.
Một gia số của một stochastic process (quá trình ngẫu nhiên) là sự thay đổi giá trị của quá trình trong một khoảng thời gian nhất định. Ví dụ: nếu `W(t)` là một stochastic process, thì gia số trong khoảng thời gian `[s, t]` là `W(t) - W(s)`. Một quá trình có **gia số độc lập** nếu bất kỳ hai gia số nào trong các khoảng thời gian không giao nhau là độc lập với nhau.
Xét một centered Gaussian Process `W_t` (quá trình Gaussian có giá trị trung bình bằng không) với hàm covariance `T(s, t) = s ∧ t` (minimum của s và t). Để chứng minh tính độc lập của các gia số, chúng ta cần chứng minh rằng covariance giữa hai gia số trong các khoảng thời gian không giao nhau bằng không.
Giả sử `s ≤ t ≤ u ≤ v`. Chúng ta cần chứng minh rằng `E[(W_t - W_s)(W_u - W_v)] = 0`.
Ta có:
`E[(W_t - W_s)(W_u - W_v)] = E[W_tW_u - W_tW_v - W_sW_u + W_sW_v] = E[W_tW_u] - E[W_tW_v] - E[W_sW_u] + E[W_sW_v] = t ∧ u - t ∧ v - s ∧ u + s ∧ v`
Vì `s ≤ t ≤ u ≤ v`, nên ta có `t ∧ u = t`, `t ∧ v = t`, `s ∧ u = s`, và `s ∧ v = s`. Do đó, `E[(W_t - W_s)(W_u - W_v)] = t - t - s + s = 0`.
Vì các gia số là Gaussian (do GP là Gaussian Process) và không tương quan (uncorrelated), nên chúng độc lập. Điều này chứng minh rằng centered Gaussian Process `W_t` với hàm covariance `T(s, t) = s ∧ t` có các gia số độc lập.
**Lưu ý quan trọng:** Việc chứng minh này giả định rằng GP có almost surely continuous paths (các đường đi liên tục gần như chắc chắn). Điều này, cùng với các điều kiện đã nêu, dẫn đến đặc tính tiêu chuẩn của Wiener process (hay Brownian motion).
Gaussian Process có rất nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau, bao gồm:
Gaussian Process là một công cụ linh hoạt và mạnh mẽ để mô hình hóa các hàm và thực hiện dự đoán. Tính độc lập của các gia số là một đặc tính quan trọng của GP, giúp đơn giản hóa các tính toán và cho phép áp dụng GP trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn một cái nhìn tổng quan về Gaussian Process và chứng minh tại sao tính độc lập của các gia số lại quan trọng.
Bài viết liên quan