Trong lĩnh vực lý thuyết phạm trù, functor định xứ (Localization Functor) đóng vai trò quan trọng trong việc xây dựng và hiểu các phạm trù phân số. Bài viết này sẽ giúp bạn nắm bắt khái niệm này một cách dễ dàng, từ định nghĩa cơ bản đến các ví dụ thực tế, đồng thời trả lời câu hỏi liệu functor định xứ có luôn trung thực (faithful) hay không. Nếu bạn đang tìm hiểu về định xứ phạm trù và functor, đây là bài viết dành cho bạn.
Để hiểu rõ về functor định xứ, trước tiên chúng ta cần làm quen với một số khái niệm cơ bản. Cho C là một phạm trù với một lớp các cấu xạ W ⊆ C₁. Phạm trù phân số là một phạm trù C[W⁻¹] được trang bị một functor Q: C → C[W⁻¹], được gọi là functor định xứ. Functor này là "nhỏ nhất" sao cho nếu f ∈ W thì Q(f) là một đẳng cấu.
Nói một cách đơn giản, functor định xứ tạo ra một phạm trù mới bằng cách "đảo ngược" một số cấu xạ nhất định trong phạm trù ban đầu. Điều này có nghĩa là, nếu một cấu xạ thuộc lớp W, thì ảnh của nó dưới functor Q sẽ có một cấu xạ ngược lại trong phạm trù mới C[W⁻¹].
Một câu hỏi quan trọng đặt ra là: liệu functor định xứ có luôn trung thực hay không? Một functor trung thực nếu nó bảo toàn tính phân biệt của các cấu xạ. Nói cách khác, nếu hai cấu xạ khác nhau trong phạm trù ban đầu, thì ảnh của chúng dưới functor trung thực cũng phải khác nhau.
Thoạt nhìn, có vẻ như functor định xứ nên trung thực, vì nó chỉ đơn thuần "thêm" các cấu xạ ngược lại. Tuy nhiên, điều này không phải lúc nào cũng đúng. Trong một số trường hợp, functor định xứ có thể "gộp" hai cấu xạ khác nhau trong phạm trù ban đầu thành một cấu xạ duy nhất trong phạm trù phân số.
Để hiểu rõ hơn, hãy xem xét ví dụ sau: Giả sử chúng ta có một phạm trù C với ba đối tượng X, Y, và Z, và các mũi tên f₁, f₂: X → Y, g: Y → Z và h: X → Z sao cho g ∘ f₁ = g ∘ f₂ = h. Bây giờ, chúng ta định xứ tại W = {g}.
Khi đó, chúng ta có một mũi tên mới g⁻¹: Z → Y, và chúng ta có thể tính toán: f₁ = g⁻¹ ∘ g ∘ f₁ = g⁻¹ ∘ h = g⁻¹ ∘ g ∘ f₂ = f₂. Điều này có nghĩa là f₁ = f₂ trong C[W⁻¹], mặc dù f₁ ≠ f₂ trong C. Trong trường hợp này, functor định xứ không trung thực.
Hiện tượng functor định xứ không trung thực xảy ra khi chúng ta cố gắng đảo ngược một mũi tên mà nó cân bằng (coequalizes) một cặp mũi tên khác. Nói chung, việc định xứ các phạm trù có thể khá phức tạp, và rất khó để dự đoán các phương trình mới của các mũi tên phát sinh từ các đẳng cấu mà chúng ta đã thêm vào. Đặc biệt, có thể khó dự đoán liệu functor định xứ có trung thực hay không.
Mặc dù functor định xứ không phải lúc nào cũng trung thực, nó vẫn là một công cụ quan trọng trong lý thuyết phạm trù. Nó được sử dụng để xây dựng các phạm trù mới từ các phạm trù đã biết, và để nghiên cứu mối quan hệ giữa các phạm trù khác nhau. Ví dụ, functor định xứ được sử dụng trong việc xây dựng phạm trù đồng luân của các không gian tô pô (Top), bằng cách đảo ngược các tương đương đồng luân (Homotopy Equivalence).
Functor định xứ là một khái niệm quan trọng trong lý thuyết phạm trù, cho phép chúng ta xây dựng các phạm trù phân số bằng cách đảo ngược một số cấu xạ nhất định. Tuy nhiên, cần lưu ý rằng functor định xứ không phải lúc nào cũng trung thực. Việc hiểu rõ về functor định xứ và tính chất của nó là rất quan trọng để nghiên cứu sâu hơn về lý thuyết phạm trù và các ứng dụng của nó.
Bài viết liên quan